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Ritratto di Carl Friedrich Gauss, per gentile concessione delle Smithsonian Libraries and Archives |
Vediamo ora una spiegazione della formula, per la comprensione della quale è utile tenere presente quanto scritto nel capitolo sull'epatta.
Anche di seguito, (r) ha il significato, come sopra, di resto della divisione ed N rappresenta l'anno, mentre n è il numero d'oro.
Il primo addendo è il numero 22, perché il 22 marzo è il primo giorno in cui è possibile che cada la data di Pasqua.
d = (r) (19a + x) : 30 misura il numero dei giorni che vanno aggiunti al 21 marzo per ottenere il giorno del primo plenilunio di primavera.
Infatti:
il giorno di marzo precedente il novilunio è dato da (30 - epatta);
dunque, il giorno (di marzo) del plenilunio sarà (44 - epatta);
consideriamo per ora il periodo precedente la riforma gregoriana: poiché epatta = (r) [11 x (n-1)] : 30 + 8 (dove n è il numero d'oro), avremo:
giorno del plenilunio = 44 - (r) [11 x (n-1)] : 30 - 8 = 36 - (r) [11 x (n-1)] : 30;
numero di giorni tra il 21 marzo e il plenilunio = d = 36 - (r) [11 x (n-1)] : 30 - 21
= 15 - (r) [11 x (n - 1)] : 30 (aggiungendo 30 se il risultato è negativo)
= 15 + (r) [19 x (n - 1)] : 30 - (r) [30 x (n - 1)] : 30
= 15 + (r) [19 x (n - 1)] : 30, ed essendo (n - 1) = (r) (N + 1 - 1) : 19, ossia (n -1) = (r) (N : 19) = a,
d = 15 + (r) (19a : 30).
Da notare che 15 è il valore di x per il periodo precedente la riforma.
Considerando il periodo successivo al 1582, occorre sostituire nella formula al numero 15 il numero x, che opera la correzione che tiene conto sia dell'equazione lunare sia dei giorni tolti dalla riforma gregoriana, e, portandolo dentro le parentesi, avremo quindi
d = (r) (19a + x) : 30.
e = (r) (2b + 4c + 6d + y) : 7 misura il numero di giorni che vanno dal giorno del plenilunio al giorno della domenica successiva, meno 1. La dimostrazione qui sarebbe piuttosto complessa; ci limitiamo a quanto segue: il valore di (2b + 4c) aumenta di 6 (e ciò equivale a diminuire di 1) per ogni anno comune e diminuisce di 2 per ogni anno bisestile, rilevando così lo spostamento della domenica successiva al 21 marzo; tuttavia, poiché la formula non cerca semplicemente di identificare la domenica dopo il 22 marzo, ma la domenica dopo il plenilunio successivo al 22 marzo, occorre, per calcolare i giorni della settimana, considerare anche i giorni trascorsi dal 21 marzo al plenilunio, e a questo scopo si aggiunge il valore di 6d, operazione equivalente a togliere d.
La y, infine, serve a operare la correzione per tener conto dei giorni tolti dalla riforma gregoriana.
Per quanto riguarda x e y, si possono ricavare anche dalle seguenti formule (dove si tiene conto dei risultati interi delle divisioni situate all'interno):
poniamo innanzitutto k = N : 100;
x = (r) [(15 + k - (k : 4) - (8k + 13) : 25)] : 30;
y = (r) [4 + k - (k : 4)] : 7.
k - (k : 4) calcola, in entrambe le formule, i 3 giorni ogni 400 anni da aggiungere a x e y per effetto della riforma gregoriana e (8k + 13) : 25 misura quanto va tolto da x per effetto dell'equazione lunare (8 giorni ogni 2500 anni).
Per la spiegazione delle formule di Gauss, è stata determinante la consultazione del sito Internet Easter date algorithms di Henk Reints.
Le fonti da cui ho tratto le formule per il calcolo di x e y sono:
- il sito Internet Easter date algorithms di Henk Reints;
- l'articolo di Giuseppe Tavernini apparso sulla rivista Astronomia n. 6 del 2000, nel quale l'autore propone anche un perfezionamento della formula di Gauss per eliminare dall'algoritmo le due eccezioni (quando 22 + d + e - 31 = 26 e quando 22 + d + e - 31 = 25, ma d = 28 e a > 10). Per quest'ultima informazione devo ringraziare il prof. Osvaldo Galletta.
Alle fonti citate si rimanda per ulteriori approfondimenti.
